Geometría plana

7.1 Figuras geométricas en el plano

El siguiente plano cartesiano presenta el cuadrilátero ABCD y el triángulo GHI.

Demuestre, usando la fórmula de distancia, que el triángulo GHI es un triángulo rectángulo y que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. Utilizando la distancia podemos demostrar las propiedades que distinguen a cada figura.

7.2 Clases de rectas en el plano

RECTAS SECANTES

Las rectas secantes se cortan en un punto.

Son las que situadas en un plano se cortan en un punto.

Las rectas A y B de la siguiente figura se cortan en el punto C. Estas rectas se dice también que son concurrentes o convergentes que significa que tienden a unirse o que la distancia entre ellas se va haciendo menor hasta cortarse en un punto.

LÍNEAS CONVERGENTES

Son las que saliendo de dos puntos del mismo plano, a medida que avanzan se juntan en un punto dado:

Como ves, las rectas han salido de los puntos A y B y si se prolongan, se juntarán en C.

LÍNEAS DIVERGENTES

Son las que saliendo del mismo punto, a medida que avanzan se van separando una de otra:

Divergir o separarse es lo contrario de convergir.

PARALELAS

Las rectas paralelas no se cortan en ningún punto.

COINCIDENTES

Dos rectas son coincidentes si todos sus puntos son comunes.

PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales de 90º.

7.3 Ángulos

Se toma un punto del plano y partiendo de ese punto, se dibujan dos semirrectas. A la abertura formada por las dos semirrectas se le llama ángulo.

Definición de ángulo

Se llama ángulo a la parte del plano delimitada por dos semirrectas que parten de un mismo punto llamado vértice. A cada semirrecta se le llama lado del ángulo.

- Los lados del ángulo son las semirrectas que lo forman.

- El vértice del ángulo es el punto común que es origen de los lados.

Los tipos de ángulos son:
Agudo < 90°
Recto = 90°
Obtuso > 90°
Convexo < 180°
Llano = 180°
Cóncavo > 180°
Completo = 360°
Nulo = 0º

Hoy hablaremos de los ángulos agudo, recto y obtuso.

2- Tipos de ángulos según su medida
Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90°

2.1- Ángulos rectos

Un ángulo recto es un ángulo que mide exactamente 90°. Si te das cuenta, en la esquina del ángulo hay un símbolo especial, una caja. Si ves ese símbolo, el ángulo es recto. No se suele escribir el 90°. Si ves la caja en la esquina ya te están diciendo que es un ángulo recto.

Un ángulo recto puede estar en cualquier orientación o giro, lo que importa es que el ángulo interior sea 90°

2.2- Ángulos agudos

Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 90°.

Acuérdate de fijarte en cuál de los dos ángulos es al que se refiere uno. Si el ángulo pequeño es menor que 90°, entonces ese es agudo.

2.3- Ángulos obtusos

Un ángulo obtuso es un ángulo que mide más de 90° pero menos de 180°.

Acuérdate de fijarte en cuál de las dos partes es a la que se refiere uno. El ángulo más pequeño entre laslíneas es obtuso si mide entre 90° y 180°.

3- Algunas cosas importantes que debes saber

Los ángulos que miden 180° se denominan ángulos extendidos o llanos.

Los ángulos que miden más de 180° y menos de 360° se denominan ángulos cóncavos.

Los ángulos que miden 360° se denominan ángulos completos.

El ángulo nulo está formado por dos semirrectas coincidentes, por lo que su abertura es nula, es decir, 0°.

Los ángulos pueden nombrarse utilizando letras griegas. Por ejemplo:

4- Cómo medir ángulos usando el transportador

Medir un ángulo significa determinar su amplitud y, para hacerlo generalmente se utiliza el transportador.

Un transportador es un instrumento en forma circular o semicircular y graduado angularmente.

Los ángulos se miden en grados sexagesimales. Un grado corresponde a la medida del ángulo que se forma cuando una circunferencia se divide en 360 partes iguales.

Los grados indican la separación de los lados del ángulo. Mientras más separados están los rayos que forman el ángulo, mayor esla cantidad de grados que este mide.

4.1- Para medir ángulos utilizando el transportador semicircular debes:

1° Colocar el trazo recto del transportador sobre uno de los lados del ángulo.

2° Hacer que el punto medio de ese trazo coincida con el vértice del ángulo.
3° Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador. Si el ángulo está abierto hacia la izquierda debes fijarte en la escala externa y si está abierto hacia la derecha en la escala interna.

4.2- Para medir ángulos utilizando el transportador circular debes:

1° Colocar uno de los lados del ángulo frente al 0°.
2° Hacer coincidir el centro de la circunferencia con el vértice del ángulo.
3° Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador.

7.4 Poligonales y polígonos

LÍNEAS POLIGONALES Y POLÍGONOS.

Línea poligonal.- Una línea poligonal está formada por varios segmentos consecutivos. Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas.

Polígono.- Es la región de plano limitada por una línea poligonal cerrada.

Resultado de imagen para poligonales y poligonos

ELEMENTOS DE UN POLÍGONO

Lado.- Es cada uno de los segmentos que forman la línea poligonal que limita al polígono.

Vértice.- Son los puntos donde se cortan los lados.

Ángulo.- La región de plano comprendida entre dos lados al cortarse en un punto llamado vértice.

Diagonal.- Son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Cualquier polígono tiene el mismo número de lados, de ángulos y de vértices.

7.5 Triángulos

Definición de triángulo:

Un triángulo es un polígono de tres lados.

Propiedades de los triángulos:

Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

Clasificación de los triángulos:

Según sus lados:

Triángulo equilátero

Tres lados iguales

Triángulo isósceles
Dos lados iguales

Triángulo escaleno

Tres lados desiguales

Según sus ángulos

Triángulo acutángulo

Tres ángulos agudos

Triángulo rectángulo

Un ángulo recto.

El lado mayor es la hipotenusa.
Los lados menores son los catetos.

Triángulo obtusángulo

Un ángulo obtuso.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Aplicaciones del teorema de Pitágoras:
Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

Ejemplo: Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

Ejemplo: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?

Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo

Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.

Ejemplo: Determinar si el triángulo es rectángulo

1.- Problema

2.- Problema

3.- Problema

4.- Problema

5.- Problema

7.6 Cuadriláteros

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados.

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.

Clasificación de cuadriláteros

Paralelogramos:

Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en:

Cuadrado

Tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos.

Rectángulo

Tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos.

Rombo

Tiene los cuatro lados iguales.

Romboide

Tiene lados iguales dos a dos.

Trapecios:

Cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Se clasifican en:

Trapecio rectángulo

Tiene un ángulo recto.

Trapecio isósceles

Tiene dos lados no paralelos iguales.

Trapecio escaleno

No tiene ningún lado igual ni ángulo recto.

Trapezoides

Cuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni paralelo.

7.7 Área y perímetro de un polígono

Definición de perímetro

El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados.

Definición de área

El área de un polígono es la medida de la región o superficie encerrada por un polígono.

Perímetro del triangulo

Triángulo Equilátero Triángulo Isósceles Triángulo Escaleno

Área del triángulo

Hallar el área y el perímetro del siguiente triángulo:

P = 2 · 11 + 7.5 = 29.5 cm

Cuadrado

6.- Problema

Calcular el área y el perímetro de un cuadrado de 5 cm de lado.

A = 52 = 25 cm2

Rectángulo

7.- Problema

Calcular el área y el perímetro de un rectángulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.

P = 2 · (10 + 6) = 32 cm

A = 10 · 6 = 60 cm2

Rombo

8.- Problema

Calcular el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 30 y 16 cm, y su lado mide 17 cm.

P = 4 · 17 = 68 cm

Área del romboide

P = 2 · (a + b)

A = b · h

9.- Problema

Calcular el área y el perímetro de un romboide de 4 y 4.5 cm de lados y 4 cm de altura.

P = 2 · (4.5 + 4) = 17 cm

A = 4 · 4 = 16 cm2

Área del trapecio

10.- Problema

Calcular el área y el perímetro del siguiente trapecio:

Área de un polígono regular

n es el número de lados

11.- Problema

Calcular el área y el perímetro de un pentágono regular de 6 cm de lado.

P = 5 · 6 = 30 cm

Calcular la apotema y el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

P = 6 · 4 = 24 cm

Área de un polígono

El área se obtiene triangulando el polígono y sumando el áreade dichos triángulos.

A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4

12.- Problema

Calcular el área del siguiente polígono:

P = 11 · 2 + 5 + 13 + 12 = 52 cm

AD = BC; AB = DC

Romboide

A = A R + A T

A = 11 · 12 + (12 · 5 ) : 2 = 162 cm2

7.8 Circunferencia y círculo

Circunferencia y círculo

Dibujar una circunferencia o un círculo es fácil:

Dibuja una curva que esté a la distancia "radio"
de un punto central.

Y entonces:

Todos los puntos están
a la misma distancia del centro.

La circunferencia es el borde y el círculo es el interior.

Además, un círculo es una figura plana(bidimensional).

Definición

En realidad la definición de circunferencia es "el conjunto de todos los puntos de un plano que están a una distancia fija de un centro".

Radio y diámetro El radio es la distancia del centro al borde. El diámetro empieza en un punto de la circunferencia, pasa por el centro y termina en el otro lado. Así que el diámetro es el doble del radio: Diámetro = 2 × Radio
Longitud de la circunferencia La circunferencia es la distancia alrededor del borde del círculo. Mide exactamente Pi (el símbolo es π) por el diámetro, o sea: Circunferencia = π × Diámetro Y estas fórmulas también: Circunferencia = 2 × π × Radio Circunferencia/Diámetro = π

Área del círculo

El área del círculo es π por el cuadrado del radio, se escribe así:

A = π × r²

O, en términos del diámetro:

A = (π/4) × D²

Es fácil acordarse si piensas en el área del cuadrado en el que cabe el círculo.

Nombres

Los círculos son objetos conocidos desde hace miles de años así que hay muchos nombres especiales.

Nadie quiere decir "la línea que empieza en un punto de la circunferencia, pasa por el centro y termina en el otro lado" cuando vale con decir "diámetro".

Aquí tienes los nombres especiales más comunes:

Líneas

Una línea que va de un punto de la circunferencia a otro se llama cuerda.

Si la línea pasa por el centro se llama diámetro.

Si una línea "sólo toca" la circunferencia al pasar se llama tangente.

Y una parte de una circunferencia se llama arco.

Trozos

Hay dos tipos importantes de "trozos" de un círculo

Un trozo "de pizza" se llama sector.

Y un trozo marcado por una cuerda se llama segmento.

Sectores comunes

El cuadrante y el semicírculo son dos tipos especiales de sectores:

	Un cuarto de círculo se llama cuadrante. Medio círculo se llama semicírculo.

Dentro y fuera

Un círculo tiene interior y exterior (¡está claro!). Pero también hay "sobre", porque podrías estar exactamente sobre el círculo.

Ejemplo: "A" está fuera del círculo, "B" está dentro del círculo y "C" está sobre el círculo.

7.9 Polígonos y circunferencia

A los polígonos que tienen sus lados y sus ángulos iguales se les denomina regulares. Atendiendo al número de lados, los primeros polígonos regulares son: el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono regular y el hexágono regular (exágono). Todos los polígonos regulares son inscribibles en una circunferencia (la circunferencia que pasa por todos sus vértices) como muestra el hexágono de la figura. Un polígono regular contiene tantos triángulos isósceles iguales como lados tenga y tienen en el centro de la circunferencia, O, un vértice común a todos los triángulos. Al ángulo α se le denomina ángulo central y su valor es 360º/n, siendo n el número de lados del polígono regular. Esto proporciona un método para construir polígonos regulares inscritos en una circunferencia; tan solo hay que marcar los vértices correspondientes después de medir con el transportador los ángulos correspondientes. 4 de 16 El segmento OM que es la altura del triángulo isósceles BCO se denomina apotema. Es evidente que un polígono regular tiene tantas apotemas como lados.