Geometría analítica en el plano

Geometría analítica en el plano

10.1 Puntos y rectas

Puntos

Un punto no tiene dimensiones.

Sirve para indicar una posición.

Se nombran con letras mayúsculas.
 

Rectas

Una recta tiene una dimensión: longitud.

Se designan mediante dos de sus puntos o mediante una letra minúscula.

Dos puntos determinan una recta.

Dos rectas que se cortan determinan un punto.

Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios, según se recorra la recta de izquierda a derecha o de derecha izquierda.
 

Semirectas





Una semirrecta es cada una de las partes en que queda dividida una recta por uno cualquiera 

de sus puntos.

Puntos y rectas simétricos

Simetría central
Dado un punto fijo M llamado centro de simetría, los puntos A y A' son simétricos en la simetria central de centro M cuando M es el punto medio del segmento de extremos A y A'

Simetría axial


Dada una recta fija r llamada eje de la simetria, los puntos A y A' son simétricos en la simetria axial de eje r cuando el segmento AA' es perpendicular a r y además el punto de corte de este segmento con el eje es su punto medio M




Ejemplo:

1) Calcula el punto simétrico de A(1, 3) respecto del punto medio M(2, 5)




Por definición, el punto M es el punto medio del segmento AA', por lo tanto aplicamos la fórmula conociendo un extremo y el punto medio.:







2) Calcula el punto simétrico de A(1, 1) respecto de la recta r: x + y - 6 = 0






Para calcular el punto simétrico de A(1, 1) , tenemos que calcular una recta s que sea perpendicular a r y que pase por M . Para ello utilizamos el vector normal a la recta r y la ecuación continua de la recta:





A continuación calculamos el punto M que es la intersección de las dos rectas:




Por último, aplicamos la fórmula del punto medio del segmento AA':




3) Calcula la recta simétrica de r: 3x - y = 0 respecto de la simetría central con centro M(2, -1) .





Tomamos dos puntos que pertenezcan a la recta r y se calculan sus puntos simétricos respecto a M(1, 2):




A continuación buscamos dos puntos P' y Q' teniendo en cuenta que M será el punto medio de los segmentos PP' y QQ' :







La recta que buscamos es la que pasa por los puntos P' y Q' :

10.2 Circunferencia 

La circunferencia es una figura geométrica cerrada cuyos puntos están a una distancia constante r, llamada radio, del centro (C).

La circunferencia es el perímetro del círculo.

También es un tipo de cónica, obteniéndose como la intersección de un cono y un plano paralelo a la base de éste.

Elementos de la circunferencia

Los principales elementos de la circunferencia son:

• Centro: el centro C es el punto interior que está a una distancia r de todos los puntos de la circunferencia
• Radio: es el segmento r que une el centro (C) de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.
• Diámetro: segmento D que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro (C). Su longitud es el doble que la del radio.
• Cuerda: es un segmento K que une dos puntos de la circunferencia sin necesidad de pasar por el centro.

• Arco: es la parte de la circunferencia que queda entre los dos extremos de una cuerda (a).
• Ángulo central: es el ángulo entre dos segmentos que van del centro a dos puntos de la circunferencia (α)
• Punto interior: punto que está dentro de la circunferencia (I), encontrándose a una distancia del centro menor que r.
• Punto exterior: puntos que están fuera de la circunferencia (E), es decir, a una distancia del centro mayor que r.

que cumplen la ecuación:

Ecuación de la circunferencia

Los puntos de la circunferencia (x,y) son aquellos que cumplen la ecuación:

Esta ecuación reúne todos los puntos (x,y) que están a una distancia r del centro C.

En el caso particular de la circunferencia de centro (0,0), su ecuación viene dada por:

Ecuación paramétrica de la circunferencia

Los puntos (x,y) de la circunferenciatambién se pueden expresar a partir de el ángulo (θ) del punto a través de la circunferencia respecto al eje de coordenadas x, mediante la ecuación paramétrica. El ángulo se puede expresar radianes (θ∈[0,2π]) o grados sexagesimales (θ∈[0º,360º]).

Es decir, la fórmula reducida de la ecuación paramétrica es:

Longitud de la circunferencia

La longitud de la circunferencia es igual a dos veces el radio (r) por π, o lo que es lo mismo, el diámetro (D) de la circunferencia por π.

El concepto “longitud de la circunferencia” es igual al del “perímetro del círculo” y miden lo mismo.

Área de la circunferencia

La circunferencia no tiene área. La circunferencia es el perímetro del círculo. En todo caso, existe el área comprendida dentro de la circunferencia, o lo que es lo mismo, el área del círculo. La fórmula de ésta es:

1.- Problema Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.
Desarrollo: 

2.- Problema

Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0, hallar el centro y el radio.

Desarrollo:

3.- Problema

4.- Problema

4x2 + 4y2 − 4x − 8y − 11 = 0

Dividiendo para 4:

5.- Problema

10.3 Parábola 

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Elementos de la parábola:

1.- Foco: Es el punto fijo F.

2.- Directriz: Es la recta fija d.

3.- Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.

4.- Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

5.- Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.

6.- Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

6.- Problema

Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes parábolas, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.

7.- Problema

8.- Problema

Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:
De directriz x = -3, de foco (3, 0).

9.- Problema

Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de la directrices de las parábolas:

10.4 Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F₁ y F₂) es constante. Es decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las distancias d₁ y d₂ es constante.

También podemos definir la elipse como una cónica, consecuencia de la intersección de un cono con un plano oblicuo que no corta la base.

Elementos de una elipse

Los elementos más importante de la elipse son:

• Focos: son los puntos fijos F₁ y F₂ que generan la elipse. La suma de las dos distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos (d₁ y d₂) es constante.
• Distancia focal (2c): distancia entre los dos focos. F₁F₂=2c. c es la semidistancia focal.
• Centro: es el punto medio de los dos focos (O).
• Semieje mayor: longitud del segmento OI o OK (a). La longitud es mayor (o igual en el caso de la circunferencia) a la del semieje menor. La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante y ésta es igual a dos veces el semieje mayor:
  
  

• Semieje menor: longitud del segmento OJ o OL (b). Ambos semiejes son los dos ejes de simetría de la elipse. Se cumple que:
  
  
  Como vemos en el dibujo, esta relación cumple el teorema de Pitágoras.
• Radios vectores: los radios vectores de cualquier punto de la elipse (P=(x,y)) son los dos segmentos que lo unen con los dos focos. PF₁ y PF₂ (en el dibujo, d₁ y d₂).
• Vértices: son los puntos resultantes de la intersección de la elipse con la recta que pasa por los focos, F₁F₂, y su perpendicular que pasa por el centro. Es decir, son los puntos I, J, K y L

Ecuación de una elipse

Los puntos pertenecientes a la elipse (x,y) son los puntos del plano que cumplen que la suma de su distancia a los dos focos es constante. La ecuación de la elipse es la siguiente:

En el caso de que la elipse esté centrada (el centro es el punto (0,0)), la ecuación es:

Área de una elipse

El área comprendida dentro de una elipse es π veces el producto de los dos semiejes (a y b).

En el caso de que los dos semiejes sean iguales (r=a=b), su fórmula es la misma que el área comprendida dentro de una circunferencia (o lo que es lo mismo, el área del círculo):

Perímetro de una elipse

El cálculo del perímetro de la elipse (o longitud de la elipse) es muy difícil, aunque no lo parezca. Requiere de integrales complicadas para su cálculo. Existen fórmulas que aproximan el cálculo hasta valores bastante exactos. Existe una aproximación con menos del 5% de error, siempre que el semieje mayor (a) no sea mucho más grande que el menor (b):

El matemático Ramanujan dio una aproximación más exacta que la anterior :

Excentricidad de la elipse

La excentricidad de una elipse (e) es un valor que determina la forma de la elipse, en el sentido de si es más redondeada o si se aproxima a un segmento. Sea c la semidistancia focal y a el semieje mayor:

La excentricidad puede tomar valores entre 0 y 1 (0≤e≤1). Es 0 cuando la elipse es una circunferencia. En este caso los semiejes mayor y menor son iguales y los focos (F₁ y F₁) coinciden en el centro de la elipse. Cuando la excentricidadcrece y tiende a 1, la elipse se aproxima a un segmento.

Existe otra fórmula que calcula la excentricidad a partir de los dos semiejes (a y b).

Esta fórmula se obtiene a partir de la anterior ya que se cumple que:

10.- Problemas

Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.


1

11.- Problema

12.- Problema