Lògica matemàticas

                                                      LÒGICA MATEMÁTICAS 
1.1 Proposiciones 
Son enunciados que en un contexto determinado o en una teoría se pueden calificar como verdaderas o falsas.

Para designar una proposición se utilizarían las letras minúsculas.

                                                                      p, q , r, s

1.2 Operadores Lógicos.

Los datos numéricos, los datos de serie y el valor nulo pueden funcionar como datos lógicos. Los datos numéricos y de serie pueden tener el valor lógico verdadero o falso. El valor numérico 0 (cero) es falso; todos los demás valores numéricos son verdaderos. Los datos de serie de caracteres que no son una serie vacía son verdaderos; una serie vacía es falsa. El valor nulo no es verdadero ni falso.

Ejemplos:

• $y_1_1 = verdadero y verdadero # -> verdadero 
• $y_1_0 = verdadero y falso # -> falso 
• $y_0_1 = falso y verdadero # -> falso 
• $y_0_0 = falso y falso # -> falso 
• $o_1_1 = verdadero o verdadero # -> verdadero 
• $no_1 = no verdadero # -> falso

1.3 Clases de proposiciones

De acuerdo a sus características, es posible distinguir entre proposiciones simples (que carecen de conectores lógicos) 

Proposiciones compuestas (cuentan con más de un conector lógico).  

Ejemplos de proposiciones simples:

El 9 y el 27 son factores del 81.

Esa caja es de madera.

Nada es para siempre.

La música clásica es la más antigua del mundo.

Los números pares son divisibles por dos.

La capital de Rusia es Moscú.

 Ejemplos de proposiciones compuestas: 

Puedo manejar un auto si tiene dirección hidráulica.

Gabriel García Márquez fue un gran escritor y bailarín.

Las células son procariotas o eucariotas.

La raíz cuadrada de 25 es 5, o -5.

No todos los números primos son impares.

Mi cuñado es arquitecto e ingeniero.  

1.4 Propiedades de los operadores lógicos 
Las operaciones lógicas definidas entre las formas proposicionales y algunas de sus más importantes propiedades se incluyen en las denominadas Leyes del Álgebra de Proposiciones o Leyes Lógicas.

A) NEGACIÓN:
EJEMPLO: Juan conversa.
Juan no conversa.

B) CONJUNCIÓN:
EJEMPLO: P: La casa esta sucia.
Q: La empleada la limpia mañana.
PQ: La casa esta sucia y la empleada la limpia mañana.

C) DISYUNCIÓN:

D) DISYUNCIÓN EXCLUSIVA:
EJEMPLO: P: Pedro juega básquet.
Q: María juega futbol.
PVQ: Pedro juega básquet o María juega futbol.

E) CONDICIONAL:
EJEMPLO: P: Si me saco la lotería.
Q: Te regalaré un carro.
PQ: Si me saco la lotería entonces te regalare un carro.

F) BICONDICIONAL:
EJEMPLO: P: Simon Bolìvar vive.
Q: Montalvo está muerto.
PQ: Simón bolívar vive si y sólo si Montalvo está muerto.

1.5 Razonamiento 

El razonamiento es la Capacidad para realizar operaciones de carácter matemático con fluidez y exactitud, esta capacidad es necesaria desarrollarla en las personas para que puedan darle solución a problemas que se les presente en la vida cotidiana.

Ejemplos: 

• En un teatro las entradas de adultos, costaban $5. y la de niños $2. concurrieron 326 espectadores y se recaudaron $1090. ¿Cuántos eran adultos y cuántos niños?
• A la edad que tiene Rosita se le multiplica por 5, y a este resultado se le agrega 3. Si al dividir esta ultima suma entre 2 se obtiene 19. ¿Cual es la edad de Rosita?
• Si 40 libros cuestan lo mismo que 20 cuadernos, y 18 lápices lo mismo que 4 borradores, ¿cuántos cuadernos nos pueden dar por 60 lápices, si el precio de 30 libros equivale a 40 borradores?
• Milagros pagó S/.8750 por un automóvil, S/.830 por cambio de llantas y S/.200 por afinarlo. Después lo alquiló durante dos años a razón de S/.1500 por trimestre, y luego lo vendió por S/.7750. ¿Cuánto ganó Milagros?
• Un comerciante vende polos, 200 polos a 8 por $2 y 300 polos a 5 por $3.  ¿Cuál es la diferencia de lo que recibió de la primera venta con la segunda?
• ¿Cuando son exactamente las 6:00 horas un reloj marca las 5:40 horas; se sabe que el reloj siempre se retrasa 4 minutos  cada 2 horas, ¿A que hora marcó correctamente la hora por última vez?

1.6 Demostraciones 

Una demostración o bien una prueba es un argumento deductivo para asegurar la verdad de una proposición matemática. En la argumentación se pueden usar otras afirmaciones previamente establecidas, tales como teoremas o bien las afirmaciones iniciales o axiomas.

Ejemplos:

• Inducción completa:

Premisa 1: Armstrong es astronauta del Apolo XI y es norteamericano.

Premisa 2: Aldrin es astronauta del Apolo XI y es norteamericano.

Premisa 3: Collins es astronauta del Apolo XI y es norteamericano.

Conclusión: Todos los astronautas del Apolo XI son norteamericanos.

• Inducción incompleta por generalización:

Premisa 1: Los trozos de cobre c1, c2, c3….cn se calientan al ser golpeados con unapiedra.

Premisa 2: Los trozos de cobre b1, b2, b3….bn se calientan al se golpeados con unmartillo.

Conclusión: El cobre se calienta al ser golpeado con un objeto sólido.

• Inducción incompleta por probabilidad:

Premisa 1: En el parque, los pájaros pian al atardecer.

Premisa 2: En Las tardes de primavera y verano, los pájaros pian en las riberas.Premisa 2: Los pájaros pian, en las mañanas, en épocas templadas.

Conclusión: Durante el paseo de esta tarde primaveral, oiremos piar a los pájaros.

• Inducción incompleta por probabilidad matemática:

Premisa 1: En la próxima tirada de dados he de sacar dos seises para ganar.

Premisa 2: Los dados no están trucados.

Conclusión: No ganare la partida.

• Deducción:

Premisa 1: Fulgencia solo sale con chicos rubios.

Premisa 2: Eulogio es moreno.

Conclusión: Fulgencia no sale con Eulogio.