Geometría en el plano
Sistema cartesiano tridimensional
Un sistema cartesiano tridimensional está compuesto por tres planos perpendiculares entre sí,los cuales se interceptan en los ejes coordenados, los que se denominan ejes Ox, Oy y Oz.
Las coordenadas del punto E de la figura son (x, y, z).
La distancia signada como x se llama abscisa; y se llama ordenada, y z se llama cota.
Los planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes.
Los signos de las coordenadas se ilustran en la siguiente figura:
Ejemplo:
Un cubo tiene una arista de 8 unidades y se ubica en el sistema cartesiano tal como se ilustra en la siguiente figura. ¿Cuáles son las coordenadas del punto P?
En la figura, se cumple que x = 0; y = 8 y z = 8,
Por tanto, sus coordenadas son (0, 8, 8).
- ¿Cuál será la medida del trazo OP? ¿Y el trazo OA?
Si observas la figura, identificarás que el trazo OP es la diagonal de una de sus caras. Como cada arista mide 8, entonces:
El trazo OA es la diagonal principal del cubo, y aplicando, a partir del cálculo anterior, el Teorema de Pitágoras en el triángulo que se forma en el espacio OAP, tenemos que:
En general, podemos determinar que la diagonal principal de un cubo de lado a es igual a:
Más generalizado, podemos determinar que la diagonal principal de un paralelogramo
de largo a, ancho b y altura c tiene la forma
.Ejemplo
La diagonal principal de un paralelepípedo de lados 5, 10 y 12, tiene el valor de
Un ejemplo práctico de sistema de coordenadas tridimensionales, se puede ver en el computador al diseñar un cubo en tres dimensiones y que este pueda moverse a través de un programa.
Lo primero que se debe hacer es ubicar las coordenadas de los puntos principales del cubo.
Observa que el centro del sistema en este caso está ubicado en el centro del cubo donde se trazaron los ejes X, Y y Z
.
8.2 Poliedros
Definición de poliedro
Un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.
Elementos de un poliedro
Caras
Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que limitan al poliedro.
Aristas
Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.
Caras
Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que limitan al poliedro.
Aristas
Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.
Vértices
Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice.
Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice.
Ángulos diedros
Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común.
Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común.
Ángulos poliédricos
Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común.
Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común.
Diagonales
Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.
Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.
Relación de Euler
En todos los poliedros convexos se verifica siempre que:
Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2.
En todos los poliedros convexos se verifica siempre que:
Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2.
Tipos de poliedros
Poliedro convexo
En un poliedro convexo una recta sólo pueda cortar a su superficie en dos puntos.
Poliedro cóncavo
En un poliedro cóncavo una recta puede cortar su superficieen más de dos puntos, por lo que posee algún ángulo diedro entrante.
Poliedros regulares
Un poliedro regular tiene todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros iguales y sus caras son polígonos regulares iguales.
Sólo existen cinco poliedros regulares:
Tetraedro
Su superficie está formada por 4 triángulos equiláteros iguales.
Tiene cuatro vértices y cuatro aristas.
Es una pirámide triangular regular.
Hexaedro o cubo
Su superficie está constituida por 6 cuadrados..
Tiene 8 vértices y 12 aristas..
Es un prisma cuadrangular regular. .
Octaedro
Su superficie consta de ocho triángulos equiláteros.
Tiene 6 vértices y 12 aristas.
Se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de dos pirámides cuadrangulares regulares iguales.
Dodecaedro
Su superficie consta de 12 pentágonos regulares.
Tiene 20 vértices y 30 aristas.
Icosaedro
Su superficie consta de veinte triángulos equiláteros.
Tiene 12 vértices y 30 aristas.
Su superficie está formada por 4 triángulos equiláteros iguales.
Tiene cuatro vértices y cuatro aristas.
Es una pirámide triangular regular.
Hexaedro o cubo
Su superficie está constituida por 6 cuadrados..
Tiene 8 vértices y 12 aristas..
Es un prisma cuadrangular regular. .
Octaedro
Su superficie consta de ocho triángulos equiláteros.
Tiene 6 vértices y 12 aristas.
Se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de dos pirámides cuadrangulares regulares iguales.
Dodecaedro
Su superficie consta de 12 pentágonos regulares.
Tiene 20 vértices y 30 aristas.
Icosaedro
Su superficie consta de veinte triángulos equiláteros.
Tiene 12 vértices y 30 aristas.
Poliedros irregulares
Un poliedro irregular está definido por polígonos que no son todos iguales.
1.- Problema
Calcula el área y el volumen de un cubo de arista 2 m.
1.- Problema
Calcula el área y el volumen de un cubo de arista 2 m.
2.- Problema
Un dodecaedro tiene 12 caras de pentagono
Calcula el área y el volumen de un dodecaedro de 10 m de arista
Un dodecaedro tiene 12 caras de pentagono
3.- Problema
Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un octaedro de 7 cm de arista.
Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un octaedro de 7 cm de arista.
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