Matrices y Sistemas de
Ecuaciones
Concepto de matriz
Siempre que colocamos un elemento en filas y columnas hacemos uso de una estructura matricial.
Por ejemplo, cualquier espectáculo en el que las entradas estén numeradas hace uso de este tipo de estructuras. Lo que se hace es dividir la Platea en filas y columnas. Si en nuestra entrada pone Fila 23 , asiento 1ed2 nos está indicando que la butaca está en la fila y columna .
Cualquier tabla de las que utilizamos en los editores de texto no deja de ser una matriz, ya que está organizada por filas 23 y columnas 12.
Clases
Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna
La matriz columna tiene una sola columna
Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A · B)t = Bt · At
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A · B)t = Bt · At
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.
En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
6.2 Operaciones con matrices
Suma de matrices
Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij).
La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.
Propiedades de la suma de matrices
Interna:
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro:
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto:
A + (−A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
Conmutativa:
A + B = B + A
Dadas las matrices:
Calcular:
A + B
Interna:
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro:
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto:
A + (−A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
Conmutativa:
A + B = B + A
1.- Problema
Dadas las matrices:
Calcular:
A + B
Desarrollo:
2.- Problema
Calcular:
A - B
Desarrollo:
3.- Problema
Demostrar que: A2 − A − 2 I = 0, siendo:
Desarrollo:
Producto de matrices
Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p
El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.
4.- Problema
Calcular:
A x B
Desarrollo:
5.- Problema
Calcular:
B x A
Desarrollo:
6.3 Determinantes y propiedades
1.- |At|= |A|
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.
2.- |A| = 0 Si:
Posee dos filas (o columnas) iguales.
Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.
Los elementos de una fila (o una columna) son combinación lineal de las otras.
F3 = F1 + F2
3.- Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
4.- Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo.
5.- Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.
Es decir, si una fila (o una columna) la transformamos en una combinación lineal de las demás, el valor del determinante no varía.
6.- Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.
7.- Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes.
8.- |A · B| =|A| · |B|
El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.
6.4 Sistemas de ecuaciones lineales
1. Interpretación gráfica
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:
Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.
Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.
Gráficamente, la situación es la siguiente:
Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones (reducción, igualación, sustitución), pero acá veremos solamente un ejemplo en el cual utilizaremos el método de reducción.
Ejemplo:
Resuelve el sistema de ecuaciones:
Solución: Multiplicando la segunda ecuación por 2, obtenemos:
Sumando ambas ecuaciones, para eliminar una de las variables, se obtiene:
7x = 21
x = 3Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales, por ejemplo en la segunda, tenemos:
4 · 3 + 2y = 16
y = 2Por lo tanto la solución del sistema es el punto de coordenadas (3, 2).
Para ejercitar con problemas que se resuelven utilizando sistemas de ecuaciones, consulta el sitio:
2. Análisis de las soluciones de un sistema de ecuaciones
Al resolver el sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas de la forma
podemos tener cualquiera de las siguientes situaciones:
i. Infinitas soluciones
Esto sucede cuando las ecuaciones representan a la misma recta Y.
Se produce cuando los coeficientes de x, de y y los términos libres son proporcionales:
ii. Sin solución
Ocurre cuando el sistema de ecuaciones tiene los coeficientes de x y de y proporcionales entre sí, pero no proporcionales a los términos libres:
iii. Solución única
Esto acontece cuando los coeficientes de x y de y no son proporcionales:
Es conveniente aclarar que la proporcionalidad entre los coeficientes de x y de y equivale a que las pendientes de las rectas sean iguales, por lo tanto, es posible que:
Si las tres razones son iguales, entonces son la misma recta, por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones.
Si solamente las razones de los coeficientes de x y de y son iguales, entonces las rectas son paralelas no coincidentes y el sistema no tiene solución.
Ejemplo:
Hallar el valor de p de modo que el sistema no tenga soluciones:
Solución: Como el sistema no tiene solución (valga la redundancia), entonces debe ocurrir que:
Y como evidentemente
, entonces podemos determinar p de la primera proporción:
Es conveniente aclarar que la proporcionalidad entre los coeficientes de x y de y equivale a que las pendientes de las rectas sean iguales, por lo tanto, es posible que:
Si las tres razones son iguales, entonces son la misma recta, por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones.
Si solamente las razones de los coeficientes de x y de y son iguales, entonces las rectas son paralelas no coincidentes y el sistema no tiene solución.
Ejemplo:
Hallar el valor de p de modo que el sistema no tenga soluciones:
Solución: Como el sistema no tiene solución (valga la redundancia), entonces debe ocurrir que:
Y como evidentemente
, entonces podemos determinar p de la primera proporción:
6.- Problema
Resuelve por sustitución, igualación y reducción el sistema:
Por sustitución:
Resuelve por sustitución, igualación y reducción el sistema:
Por sustitución:
7.- Problema
Por igualación:
8.- Problema
Por reducción:
6.5 Sistemas de ecuaciones no lineales
Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.
La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:
1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.
y = 7 − x
2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.
x2 + (7 − x)2 = 25
3º Se resuelve la ecuación resultante.
x2 + 49 − 14x + x2 = 25
2x2 − 14x + 24 = 0
x2 − 7x + 12 = 0
4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.
x = 3 y = 7 − 3 y = 4
x = 4 y = 7 − 4 y = 3
9.- Problema
y = 7 − x
x2 + (7 − x)2 = 25
x2 + 49 − 14x + x2 = 25
2x2 − 14x + 24 = 0
x2 − 7x + 12 = 0
x = 3 y = 7 − 3 y = 4
x = 4 y = 7 − 4 y = 3
10.- Problema
11.- Problema
12.- Problema
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