Funciones de una variable real

                       Funciones de una variable real
4.1 Definición, dominio, rango 
Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real (uno y sólo uno). f : D x f(x) = y 

DOMINIO
El dominio de una función son los valores para los cuales la función está definida o en otras palabras, es el conjunto de todos los posibles valores que la función acepta.
Por ejemplo:

Si la función f(x) = x al cuadrado, se le dan los valores x = {1,2,3....} entonces {1,2,3....} es el dominio.

RANGO

El rango de una función es el conjunto de todos los valores de salida de una función o es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función.

Ejemplo: si a la función f(x) = x2 se le dan los valores x = {1,2,3,...} entonces el rango será {1,4,9,...}

4.2 Representación gráfica de un función   

Gráfica de una función

La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos (x, y) cuando x varía en el dominio D.

gráfica (f) = {(x, f(x)) /  x ∈ D}

Para representarla calcularemos aquellos puntos o intervalos donde la función tiene un comportamiento especial, que determinaremos mediante el estudio de los siguientes apartados:

1.    Dominio de la función.

2.    Simetría

3.    Periodicidad

4.    Puntos de corte con los ejes.

5.    Asíntotas

6.    Ramas parabólicas

7.    Crecimiento y Decrecimiento

8.    Máximos y mínimos

9.    Concavidad y convexidad

10.   Puntos de inflexión

Ejemplo de representación de una función

     Dominio

Simetría

Simetría respecto al origen, es decir, la función es impar

Puntos de corte

Punto de corte con OX:

Punto de corte con OY:

Asíntotas

Asíntota horizontal

No tiene asíntotas verticales ni oblicuas

Crecimiento y decrecimiento

Máximos y mínimos

Candidatos a extremos: x = − 1 y x = 1.

Concavidad y convexidad

Puntos de inflexión

Representación gráfica

4.3 Tipos de funciones 

Función polinómica

Una función polinómica f es una función cuya expresión es un polinomio tal como:

El dominio de las funciones polinómicas son todos los números reales.

Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio.

Función constante

Una función f es constante si la variable dependiente y toma el mismo valor a para cualquier elemento del dominio(variable independiente x).

En términos matemáticos, la función f es constante si para cualquier par de puntos x₁ y x₂ del dominio tales que x₁<x₂, se cumple que f(x₁) = f(x₂).

La gráfica de una función constante es una recta paralela al eje de abscisas X.

Función polinómica de primer grado

Las funciones polinómicas de primer grado o de grado 1 son aquellas que tienen un polinomio de grado 1 como expresión. Están compuestas por un escalar que multiplica a la variable independiente más una constante. Su mayor exponente es x elevado a 1.

Su representación gráfica es una recta de pendiente m.

La m es la pendiente y la n la ordenada, o punto en donde corta la recta f al eje de ordenadas. Según los valores de my n existen tres tipos:

Función afín

Una función afín es una función polinómica de primer grado que no pasa por el origen de coordenadas, o sea, por el punto (0,0).

Las funciones afines son rectas definidas por la siguiente fórmula:

Los escalares m y n son diferentes de 0.

Función lineal

Una función lineal es una función polinómica de grado 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Son funciones rectas de la forma:

Función identidad

Una función identidad es una función tal que la imagen de cualquier elemento es éste mismo:

Estas funciones también suele denotarse por id.

La función identidad es una función lineal de pendiente m = 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Divide el primer y el tercer cuadrante en partes iguales, o sea, es su bisectriz.

Función cuadrática

Las funciones cuadráticas (o funciones de segundo grado) son funciones polinómicas de grado 2, es decir, el mayor exponente del polinomio es x elevado a 2 (x²):

Su representación gráfica es una parábola vertical.

Función cúbica

Las funciones cúbicas (o funciones de tercer grado) son funciones polinómicas de grado 3, es decir, las que el mayor exponente del polinomio es x elevado a 3 (x³):

La representación gráfica de la función cúbica es:

Función racional

Las funciones racionales f(x) son el cociente de dos polinomios. La palabra racional hace referencia a que esta función es una razón.

P(x) es el polinomio del numerador y Q(x) el del denominador.

Función exponencial

Una función exponencial es aquella que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a. Su expresión es:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

También se suele denotar la función como exp (x).

Función logarítmica

Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Funciones definidas a trozos

Las funciones definidas a trozos (o función por partes) si la función tiene distintas expresiones o fórmulas dependiendo del intervalo (o trozo) en el que se encuentra la variable independiente (x).

Por ejemplo:

La imagen de un valor x se calcula según en que intervalo se encuentra x. Por ejemplo, el 0 se encuentra en el intervalo ]-∞,1[, por lo que su imagen es f(0)=0. El valor 3 está en el intervalo [1,4], entonces su imagen es f(3)=2.

4.4 Funciones lineales

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.

Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2

Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)

Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)

Volvamos al ejemplo de las funciones lineales

f(x) = 3x+2       Si x es 3,  entonces f (3) = 3*3+2 = 11

Si x es 4,  entonces f (4) = 3*4+2 = 14

Si x es 5,  entonces f (5) = 3*5+2 = 17

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de   x  y de  f(x)  NO SON PROPORCIONALES.

Lo que son proporcionales son los incrementos.

g(x) = -3x+7     Si  x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 =   0+7 = 7

Si  x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4

Si  x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente.

h(x) = 4             Si  x= 0   ,  entonces h(0)  = 4

Si  x= 98   entonces h(98) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.

Esta es la representación grafica de los tres tipos de funciones descritas.

4.5 Funciones cuadráticas 

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax 2 + bx + c

donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero .

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

ax 2 es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es una ecuación completa , si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta .

Representación gráfica de una función cuadrática

Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática , obtendríamos siempre una curva llamada parábola .

Parábola del puente, una función cuadrática.

Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática .

Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.

Estas características o elementos son:

Orientación o concavidad (ramas o brazos)

Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)

Punto de corte con el eje de ordenadas

Eje de simetría

Vértice

Orientación o concavidad

Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.

Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax 2 ) :

Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x 2 − 3x − 5

Si  a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x 2 + 2x + 3

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola

Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)

Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x , los cuales deben calcularse.

Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos

f (x) = 0 .

Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores  de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0 ; que es lo mismo quef(x) = 0 .

Entonces hacemos

ax² + bx +c = 0

Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:

Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas) .

Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:

Que corte al eje X en dos puntos distintos

Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)

Que no corte al eje X

Esta característica se puede determinar analizando el discriminante , ya visto en las ecuaciones cuadráticas .

Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)

En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero , por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c) .

Veamos:

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3

 

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3

Representar la función f(x) = x² − 4x − 3

 

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en −3

Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.

Eje de simetría o simetría

Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría .

El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.

Su ecuación está dada por:

 

Donde x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x , asociada a la parábola.

De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:

Vértice

Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas

La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría  y la ordenada corresponde al valor máximo o mínimo de la función,  según sea la orientación de la parábola (recuerde el discriminante )