Funciones de una variable real

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL

4.6 Técnicas de graficación de funciones

Desplazamiento vertical de las gráficas

y = f(x) + k  ( k > 0)

y = f(x) - k   ( k > 0)

Observa que la gráfica de y = x² + 2 sube dos unidades desde el origen y la gráfica de y = x² - 3 baja tres unidades desde el origen.

Nota:  La gráfica de la ecuación de la forma y = f(x) + k es la gráfica de y = f(x) desplazada hacia arriba si k es positiva y desplazada hacia abajo si k es negativa.  De manera que, la gráfica de y = f(x) + k se puede obtener de la gráfica de y = f(x) al trasladar verticalmente la gráfica de y = f(x), k unidades hacia arriba si k es positiva y k unidades hacia abajo si k es negativa.

Desplazamiento Horizontal de las Graficas

  

 y = f(x - h)  ( k > 0)

 y = f(x + h)  ( k > 0)

Observa que la gráfica de y = ( x + 2)²  se mueve dos unidades hacia la izquieda y la gráfica de y = (x - 2)² se mueve dos unidades hacia la derecha.

Nota:  La gráfica de y = f(x + h)  es la gráfica de y = f(x) desplazada hacia la derecha si h es negativa y desplazada hacia la izquierda si h es positiva.  De manera que, la gráfica de y = f( x + h) se puede obtener de la gráfica de y = f(x) al trasladar horizontalmente la gráfica de y = f(x), h unidades hacia la izquierda si h es positiva y h unidades hacia la derecha si h es negativa.

4.7 Operaciones con funciones de una variable real

Suma de funciones

Sean f  y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

                                          

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

                                          

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

                                          

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

                                                

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

                                             

4.8 Funciones polinomiales
Una función polinómica es aquella que está definida por un polinomio:

donde   a₀, a₁ ... a_n-1, a_n   son números reales que se llaman coeficientes del polinomio y   n   es el grado del polinomio.

Las características generales de las funciones polinómicas son las siguientes:

• El dominio de definición es el conjunto de los números reales (R).
• Son siempre continuas.
• No tienen asíntotas.
• Cortan al eje X, como máximo, un número de veces igual que el grado del polinomio.
• Cortan el eje Y en el punto (0, a₀).
• El número de máximos y mínimos relativos es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos uno.
• El número de puntos de inflexión es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos dos.

Funciones polinómicas de grado 0: 
rectas horizontales

Funciones polinómicas de primer grado: 
rectas oblicuas

Funciones polinómicas de segundo grado: 

Funciones polinómicas de tercer grado: cúbicas

 

Funciones polinómicas de cuarto grado: cuárticas

1.- Problema

Grafique la función polinomial x 3 – 2 x 2 – 3 x .

Prediga el comportamiento final de la función.

El grado de la función polinomial es impar y el coeficiente principal es positivo.

El grado del polinomio es 3 y habría 3 ceros para las funciones.

La función puede factorizarse como x ( x + 1)( x – 3). Así, los ceros de las funciones son x = – 1, 0 y 3.

Haga una tabla de valores para encontrar varios puntos.

Gráfique los puntos y dibuje una curva continua suave para conectar los puntos

4.9 Funciones Racionales

Las funciones racionales son del tipo:

El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales menos los valores de x que anulan el denominador.

Ejemplo





Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación:

.



Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones





Construcción de hipérbolas

Las hipérbolas son las más sencillas de representar.

Sus asítontas son los ejes

El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen.





A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación.

1. Traslación vertical



El centro de la hipérbola es: (0, a).

Si a>0, se desplaza hacia arriba a unidades.





El centro de la hipérbola es: (0, 3)

Si a<0, se desplaza hacia abajo a unidades.





El centro de la hipérbola es: (0, -3)

2. Traslación horizontal



El centro de la hipérbola es: (-b, 0).

Si b> 0, se desplaza a la izquierda b unidades.





El centro de la hipérbola es: (-3, 0)

Si b<0, se desplaza a la derecha b unidades.





El centro de la hipérbola es: (3, 0)

3. Traslación oblicua



El centro de la hipérbola es: (-b, a)





El centro de la hipérbola es: (3, 4).

Para representar hipérbolas del tipo:



se divide y se escribe como:



Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de asíntotas paralelas a los ejes.









El centro de la hipérbola es: (-1, 3)

2.- Problemas 

f(x)=(x+1)/(2x²-x-1)

• Dominio: No está definida en x=-1/2 yen x=1
• Cortes: (0,-1), (-1,0)
• Regiones:
  f(x)<0: (-¥,-1)U(-1/2,1)
  f(x)>0: (-1,-1/2)U(1,+¥)
• Asíntotas:
  Horizontal: y=0
  Verticales: x=-1/2, x=1
• Puntos singulares:
  Máximo: (0,-1)
  Mínimo: (-2,-1/9)

3.- Problemas

f(x)=(x³+x²)/(2x²+x)

• Dominio: No está definida en x=-1/2 y en x=0
• Simplificando la expresión obtenemos: f(x)=(x²+x)/(2x+1)
• Cortes con los ejes: (-1,0). 
• Regiones: 

f(x)<0: (-¥,-1)U(-1/2,0)

f(x)>0: (-1,-1/2)U(0,+¥)

• Asíntotas:
  Vertical: x=-1/2
  Oblicua: y=0.5x+0.25 La curva no la corta. Se aproxima por debajo cuando x ® +¥; se aproxima por arriba cuando x ® -¥
• Puntos singulares: No tiene.

4.- Problemas 

f(x)=(x²-2x+2)/(x-1)

• Dominio: No está definida en x=1
• Cortes con los ejes coordenados: (0,-2)
• Regiones:
  f(x)<0:(-¥, 1); f(x)>0: (1,+¥)
• Asíntotas:

Vertical: x=1

Oblicua: y=x-1. La curva no la corta. Se aproxima por arriba para x®+¥; se aproxima por debajo para x®-¥.

• Puntos singulares:
  Mínimo (2,2)
  Máximo (0,-2)

5.- Problemas

 f(x)= x/(x-2)²

• Dominio: No está definida en x=2
• Cortes con los ejes coordenados:(0,0)
• Regiones: f(x)<0: (-¥,0); f(x)>0: (0,+¥)
• Asíntotas:
  -Horizontal: y=0. La curva no la corta.
  -Vertical: x=2
• Puntos singulares: Mínimo (-2,-1/8)

4.10 Funciones Exponenciales

La función exponencial es del tipo:

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llama función exponencial de base a y exponente x.

Ejemplos

x	y = 2x
-3	1/8
-2	1/4
-1	1/2
0	1
1	2
2	4
3	8

x	y = (½)x
-3	8
-2	4
-1	2
0	1
1	1/2
2	1/4
3	1/8

Crecimiento exponencial

Como pudiste ver arriba, esta función exponencial tiene una gráfica que se acerca mucho al eje x porque se extiende a la izquierda (conforme x se vuelve más negativa), pero nunca toca el eje x. Conocer la forma general de las funciones exponenciales es útil para graficar ecuaciones o funciones exponenciales específicas.

Hacer una tabla de valores también es útil, porque puedes usar la tabla para encontrar la curva de la gráfica con más precisión. Algo que recordar es que la base tiene un exponente negativo, entonces tomas el recíproco de la base para hacer el exponente positivo. Por ejemplo, 

Ejemplo
Problema	Hacer una tabla de valores para f(x) = 3x.
	x f(x)	Has una “T” para empezar la tabla con dos columnas. Etiqueta las columnas con x y f(x).
	x f(x) −2 −1 0 1 2	Escoge varios valores para x y ponlos como filas separadas en la columna x. Consejo: Siempre es bueno incluir el 0, valores positivos y valores negativos, si es posible.
Respuesta	x f(x) −2 −1 0 1 1 3 2 9	Evalúa la función para cada valor de x y escribe el resultado en la columna f(x) junto al valor de xcorrespondiente. Por ejemplo, cuando x = −2, f(x) = 3-2 =  = , entonces  va en la columna f(x) junto al −2 de la columna x. f(1) = 31 = 3 y 3 va en la columna f(x) junto al 1 de la columna x. Observa que tu tabla de valores podría ser distinta a la de alguien más, si escogiste diferentes números para x.

Observa la tabla de valores. Piensa en lo que pasa conforme los valores de x aumentan — ¡también aumenta los valores de la función (f(x) o y)!

Ahora que tienes la tabla de valores, puedes usarlos para dibujar la forma y la posición de la función. Conecta los puntos lo mejor que puedas para hacer una curva suave (no una serie de líneas rectas). Esto muestra que todos los puntos en la curva son parte de esta función.

Ejemplo
Problema	Graficar f(x) = 3x.
	x f(x) −2 −1 0 1 1 3 2 9	Empieza con una tabla de valores, como la que hiciste en el ejemplo anterior.
	x f(x) punto −2 (−2, ) −1 (−1, ) 0 1 (0, 1) 1 3 (1, 3) 2 9 (2, 9)	Si piensas en f(x) como y, cada fila forma un par ordenado que puedes graficar en las coordenadas.
		Grafica los puntos.
Respuesta		Conecta los puntos lo mejor que puedas, usando una curva suave (no una serie de líneas rectas). Usa la forma de una gráfica exponencial para ayudarte: esta gráfica se acerca mucho al eje x en la izquierda, pero nunca lo toca y se vuelve más inclinada a la derecha.

Conforme aumenta x, “crece” más rápido.

6.- Problemas

Ejemplo
Problema	Graficar f(x) = 4x.
	x f(x) −2 −1 0 1 1 4 2 16	Empieza con una tabla de valores. Puedes escoger diferentes valores pero de nuevo, es útil incluir el 0 y algunos valores positivos y negativos.. Recuerda, 4-2 =  = . Si piensas en f(x) como y, cada fila forma un par ordenado que puedes graficar en las coordenadas.
		Grafica los puntos. Observa que la base más grande en este problema hizo que el valor de la función se disparara. Incluso con un valor pequeño de 2 para x, el valor de la función es tan grande que se sale de la escala que usaste antes. Puedes cambiar la escala, pero entonces los valores quedan muy juntos uno con otro. También puedes intentar con otros puntos, como cuando x =. Porque conoces la raíz cuadrada de 4, puedes encontrar el valor en este caso: . El punto  es el punto azul en la gráfica. Para otras bases, podrías necesitar una calculadora para ayudarte a encontrar el valor de la función.
Respuesta		Conecta los puntos lo mejor que puedas, usando una curva suave (no una serie de líneas rectas). Usa la forma de una gráfica exponencial para ayudarte: esta gráfica se acerca mucho al eje x en la izquierda, pero nunca lo toca y se vuelve más inclinada a la der

Decaimiento exponencial

Ejemplo
Problema	Graficar .
	x f(x) −2 4 −1 2 0 1 1 2	Empieza con una tabla de valores. ¡Ten cuidado con los exponentes negativos! Recuerda sacar el recíproco de la base para volver positivo el exponente. En este caso,  y .
		Usa la tabla como pares ordenados y grafíca los puntos.
Respuesta		Como los puntos no están en una línea, no puedes usar una regla. Conecta los puntos lo mejor que puedas usando una curva suave (no una serie de líneas rectas).

los valores de la función “decaen” o disminuyen conforme los valores de x aumentan. Se acercan cada vez más a 0.

7.- Problemas

Ejemplo
Problema	Graficar .
	x f(x) −2 16 -1 4 0 1 1 2	Crea una tabla de valores. De nuevo, en cuidado con los exponentes negativos. Recuerda sacar el recíproco de la base para volver positivo el exponente. En este caso . . Observa que en esta tabla, los valores de x aumentan. Los valores de ydisminuyen.
		Usa los pares de la tabla para graficar los puntos. Podrías incluir nuevos puntos, especialmente cuando uno de los puntos de la tabla, aquí (−2, 16) no cabrá en la gráfica. Como conoces la raíz cuadrada de 4, intente x =. Puedes encontrar ese valor en este caso: . El punto (, 8) ha sido incluido en azul. Podrías querer incluir puntos adicionales. También puedes usar una calculadora, de pendiendo de la base.
Respuesta		Conecta los puntos lo mejor que puedas us

8.- Problemas

2 – 100x = 0.5 x – 4

9.- Problemas

f (x) = 2x

10.- Problemas

 f (x) = (2/5) –x

11.- Problemas

f (x) = – (1/2) x + 4

12.- Problemas

f (x) = 2|x|

13.- Problemas 

f (x) = 3 1 – x2

14.- Problemas

f (x) = 3 x + 3-x

4.11 Funciones Logarítmicas 

En tus estudios del álgebra, te has topado con muchas propiedades, como la conmutativa, la asociativa y la distributiva. Estas propiedades te ayudan a simplificar una expresión o una ecuación complicada.

Lo mismo sucede con los logaritmos. Hay un grupo de propiedades que te ayudan a simplificar expresiones complejas de logaritmos. Como los logaritmos se relacionan estrechamente con las expresiones exponenciales, no es de sorprender que las propiedades de los logaritmos se parezcan a las propiedades de los exponentes. Como un recordatorio, aquí están las propiedades de los exponentes.

Propiedades de los exponentes Producto de potencias:  Cociente de potencias:  Potencia de una potencia:

Una propiedad importante y básica de los logaritmos es log_b b^x = x. Esto tiene sentido cuando conviertes el enunciado a su equivalente en ecuación exponencial. ¿El resultado? b^x = b^x.

Encontremos el valor de yen. Recuerda , entonces significa que y y debe ser 2, lo que significa . Obtendrás la misma respuesta que  es igual a 2 usando la propiedad log_b b^x = x.

Logaritmo de un producto

Recuerda que las propiedades de los exponentes y logaritmos son muy similares. Con los exponentes, para multiplicar números con la misma base, sumas los exponentes. Con los logaritmos, el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.

Logaritmo de un producto El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos: logb (MN) = logb M + logb N

Intentemos con el siguiente ejemplo.

Ejemplo
Problema	Usar la propiedad del producto para reescribir .
		Usa la propiedad del producto para escribir como una suma.
		Simplifica cada sumando, si es posible. En este caso, puedes simplificar ambos sumandos. Reescribe log2 4 como log2 22 y log2 8 como log2 23, luego usa la propiedad logb bx = x. O, reescribe log2 4 = y como 2y = 4 para encontrar y = 2 y log2 8 = y como 2y = 8 para encontrar y = 3. Usa el método que más tenga sentido para ti.
Respuesta

15.- Problemas 

Ejemplo
Problema	Usar la propiedad del producto para reescribir log3 (9x).
	log3 (9x) = log3 9 + log3 x	Usa la propiedad del producto para escribir como una suma.
	log3 9 + log3 x = log3 32 + log3 x = 2 + log3 x	Simplifica cada sumando, si es posible. En este caso, puedes simplificar log3 9 pero no log3 x. Reescribe log3 9 como log3 32, luego usa la propiedad logb bx = x. O, simplifica log3 9 convirtiendo log3 9 = y a 3y = 9 y encuentra que y = 2. Usa el método que más tenga sentido para ti.
Respuesta	log3(9x) = 2 + log3 x

Si el producto tiene muchos factores, sólo sumas los logaritmos individuales:

log_b (ABCD) = log_b A + log_b B + log_b C + log_b D.

Logaritmo de un cociente

uedes usar la similaridad entre las propiedades de los exponentes y los logaritmos para encontrar la propiedad para el cociente de un logaritmo. Con los exponentes, para multiplicar dos números con la misma base, sumas los exponentes. Para dividir dos números con la misma base, restas los exponentes. ¿Cuál crees que es la propiedad para el logaritmo de un cociente?

Como seguramente sospechaste, el logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos.

Logaritmo de un cociente

Con ambas propiedades:  y, un cociente se vuelve una resta.

16.- Problemas

Ejemplo
Problema	Usar la propiedad del cociente para reescribir .
	log2  = log2 x – log2 2	Usar la propiedad del cociente para reescribir como una resta.
Respuesta	= log2 x – 1	La primera expresión no puede simplificarse más. Sin embargo, la segunda expresión sí. ¿Qué exponente en la base (2) da un resultado de 2? Como 21 = 2, sabes que log2 2 = 1.

Logaritmo de una potencia

La propiedad faltante de los exponentes es la potencia de una potencia: . La similaridad con el logaritmo de una potencia es un poco más difícil de ver.

Logaritmo de una potencia

Con ambas propiedades,  y , la potencia “n” se vuelve un factor.

17.- Problemas

Ejemplo
Problema	Usar la propiedad de la potencia para simplificar log394.
	log3 94 = 4 log3 9	Podrías encontrar 94, pero eso no haría más fácil simplificar el logaritmo. Usa la propiedad de la potencia para reescribir log3 94como 4log3 9.
	4 log3 9 = 4•2	Podrías reconocer que 32 = 9, log3 9 = 2.
Respuesta	log3 94 = 8	Multiplica los factores.

Simplificando expresiones logarítmicas

Las propiedades se pueden combinar para simplificar expresiones más complicadas que tengan logaritmos

Ejemplo
Problema	Usar las propiedades de los logaritmos para expandir  en 4 términos más simples.
		Usa la propiedad del cociente para reescribir  como una resta de logaritmos.
		Ahora tienes dos logaritmos, cada uno con un producto. Aplica la regla del producto a cada uno. ¡Ten cuidado con la resta! Como todo el log10 cd se resta, debes restar ambas partes del término, (log10 c + log10 d).
Respuesta	= log10 a + log10 b – log10 c – log10 d

18.- Problemas 

Ejemplo
Problema	Simplificar log6 (ab)4, escribiéndolo como dos términos separados.
		Usa la propiedad de la potencia para reescribir log6 (ab)4como 4 log6 (ab). Estás sacando el logaritmo de un producto, por lo que aplicas la propiedad del producto. Ten cuidado: el valor de 4 se multiplica por todo el logaritmo, por lo que usas paréntesis cuando reescribeslog6 (ab) como (log6a + log6 b)
Respuesta	log6 (ab)4  = 4 log6 a + 4 log6 b	Usa la propiedad distributiva.