TRIGONOMETRÍA
5.1 Ángulos y sus medidas
Medidas de ángulos: Grados y radiales
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.
El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario.
Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:
Grado sexagesimal (°):
Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal.
Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').
Radián (rad):
Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.
Ejemplo:
2π rad = 360°
π rad = 180°
30º
rad
rad
/3 rad º
FÓRMULA QUE DEBES TENER EN CUENTA
1.- Problema
Convertir grado a radianes
Transformar 45 grados a π radianes.
Solución: 45° x π radianes = π radianes
180° 4
2.- Problema
Convertir radianes a grados
Transformar 5 π radianes a grados sexagesimales.
3
Solución: 5 π radianes x 180° = 300°
3 π radianes
5.2 Funciones trigonométricas elementales
Las razones trigonométricas que nos van a permitir hallar los elementos de un triángulo rectángulo (lados y ángulos)
Razones trigonométricas ángulos más usuales
Si nos fijamos en la tabla siguiente, vemos que si numeramos los ángulos de 1 a 3 en orden creciente en columna y dividimos entre 2, y hacemos la raíz cuadrada del numerador, entonces obtenemos la columna de los senos. Para obtener la columna de los cosenos no hace falta ningún cálculo, simplemente procedemos en orden inverso a hacer lo que hemos hecho antes. Y para obtener la de las tangentes simplemente divididos el valor del seno entre el valor del coseno.
3.- Problema
Calcule los valores de x y y
5.
sen 30° = 4/x
sen 30° = 1/2
4/x = 1/2
x = 8
cos 30° = y / x
cos 30° = .86
y / x = y / 8 = .86
y = 6.9
4.- Problema
sen 45 ° = 7/x
sen 45° = .70
7/x = .7
x = 9.9
cos 45° = y/x
cos 45° = .7
y/x = y/9.9 = .7
y= 7
5.- Problema
Calcule los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo θ:
Sen θ = 4/5
Cos θ = 3/5
Tan θ = 4/3
Cot θ = 3/4
Sec θ = 5/3
Csc θ = 5/4
6.- Problema
a2 + 22 = 52
a = 
Sen θ = 2/5
Cos θ = /5
/5
Tan θ = 2/
Cot θ = /2
/2
Sec θ = 5/
Csc θ = 5/2
7.- Problema
a2 + b2 = c2
c = 
Sen θ = a/
Cos θ = b/
Tan θ = a/b
Cot θ = b/a
Sec θ = /b
/b
Csc θ = /a
/a
8.- Problema
a2 + b2 = c2
a = 
Sen θ = b/c
Cos θ = /c
/c
Tan θ = b/
Cot θ = /b
/b
Sec θ = c/
Csc θ = c/b
5.3 Gráficas de funciones trigonométricas
Las gráficas de las funciones trigonométricas poseen propiedades matemáticas muy interesantes como máximo, mínimo, asíntotas verticales, alcance y periodo entre otras.
Es necesario estudiar la forma de la gráfica de cada función trigonométrica. Esta forma está asociada a las características particulares de cada función. En la figura de abajo se presentan algunas gráficas de funciones trigonométricas.
Al establecer relaciones entre dos conjuntos mediante las funciones trigonométricas se establecen relaciones como y=sen(x), y=cos(x), y=tan(x), y=cot(x), y=csc(x) o y=sec(x). La expresión en el paréntesis se denomina argumento de la función (dominio) mientras que y representa el alcance (imágenes).
Las gráficas de estas funciones se extienden sobre los ejes coordenados, si es sobre el eje de x, tienen la característica de repetirse por intervalos. Esto significa que cada cierta cantidad de radianes, una parte de la gráfica de la función es la misma (periodo). La extensión sobre el eje de y se conoce como alcance. Veamos cada función particular en detalle.
El modelo de las gráficas de las funciones trigonométricas se obtiene evaluando la función para ángulos que forman una revolución completa.
Gráfica de la Función Seno del ángulo
El modelo de la gráfica de la función seno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función seno del ángulo utiliza la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función seno del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de abajo se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función seno del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función seno del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.
Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la gráfica de la función y=sen(x).
Su dominio es el conjunto de números reales
Su alcance es el conjunto de números mayores o iguales que menos uno hasta los números menores o iguales que uno.
Su intercepto en el eje de y es el punto (0,0).
El eje de x será el eje de referencia.
El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π/2,1).
El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (3π/2,-1).
Su periodo es 2π.
Gráfica de la Función Coseno del ángulo
El modelo de la gráfica de la función coseno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función coseno del ángulo utiliza la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función coseno del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de abajo se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función coseno del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función coseno del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.
Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la gráfica de la función y=cos(x).
Su dominio es el conjunto de números reales
Su alcance es el conjunto de números mayores o iguales que menos uno hasta los números menores o iguales que uno.
Su intercepto en el eje de y es el punto (0,1).
El eje de x será el eje de referencia.
El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (0,1) y (2π,1).
El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π,-1).
Su periodo es 2π.
Gráfica de la Función Tangente del ángulo
El modelo de la gráfica de la función tangente del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función tangente del ángulo es el cociente de la y y la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función tangente del ángulo comienza en -π/2 y termina en π/2. En la figura de la derecha se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función tangente del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función tangente del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.
Esta función tiene asíntotas en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la gráfica de esta función.
Su dominio es toda x≠π/2±nπ.
Su alcance es el conjunto de todos los números reales.
Su intercepto en el eje de y es el punto (0,0).
El eje de x será el eje de referencia.
Las asíntotas del ciclo fundamental son x=±π/2.
Su periodo es π.
Gráfica de la Función Cotangente del ángulo
El modelo de la gráfica de la función cotangente del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función cotangente del ángulo es el cociente de la x y la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función cotangente del ángulo comienza en 0 y termina en π. En la figura de la derecha se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función cotangente del ángulo x.Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función cotangente del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.
Esta función tiene asíntotas en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la gráfica de esta función.
Su dominio es toda x≠±nπ.
Su alcance es el conjunto de todos los números reales.
No tiene intercepto en el eje de y.
El eje de x será el eje de referencia.
Las asíntotas del ciclo fundamental son x=±nπ.
Su periodo es π.
Gráfica de la Función Secante del ángulo
El modelo de la gráfica de la función secante del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas o buscando los recíprocos de la funcion coseno. Recuerde que la función secante del ángulo es el recíproco de la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función secante del ángulo comienza en -π/2 y termina en 3π/2. En la figura de la derecha se observa la relación entre la funcion coseno y la gráfica de la función secante del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función secante del ángulo xa partir de la grafica de la función coseno del ángulo.
Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el ciclo fundamental de su gráfica. Tambien tiene tres asíntotas verticales en su ciclo fundamental. Veamos las características de la gráfica de la función y=sec(x).
Su dominio es el conjunto de números reales excepto los multiplos impares de π/2.
Su alcance es el conjunto de todos los números menores o iguales que menos uno y todos los números mayores o iguales que uno.
Su intercepto en el eje de y es el punto (0,1).
El eje de x será el eje de referencia.
El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π,-1).
El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (0, 1).
Las asíntotas del ciclo fundamental son las ecuaciones x=-π/2, x=π/2 y x=3π/2.
Su periodo es 2π.
Gráfica de la Función Cosecante del ángulo
El modelo de la gráfica de la función cosecante del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas o buscando los recíprocos de la funcion seno. Recuerde que la función cosecante del ángulo es el recíproco de la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función cosecante del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de la derecha se observa la relación entre la funcion seno y la gráfica de la función cosecante del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función cosecante del ángulo x a partir de la grafica de la función seno del ángulo.
Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el ciclo fundamental de su gráfica. Tambien tiene tres asíntotas verticales en su ciclo fundamental. Veamos las características de la gráfica de la función y=csc(x).
Su dominio es el conjunto de números reales excepto los multiplos impares de π/2.
Su alcance es el conjunto de todos los números menores o iguales que menos uno y todos los números mayores o iguales que uno.
Su intercepto en el eje de y es el punto (0,1).
El eje de x será el eje de referencia.
El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π,-1).
El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (0, 1).
Las asíntotas del ciclo fundamental son las ecuaciones x=-π/2, x=π/2 y x=3π/2.
Su periodo es 2π.
5.5 Identidades Trigonométricas
Relación seno coseno
cos² α + sen² α = 1
Relación secante tangente
sec² α = 1 + tg² α
Relación cosecante cotangente
cosec² α = 1 + cotg² α
9.- Problema
Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
10.- Problema
Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Identidades trigonométricas de suma y resta
11.- Problema
12.- Problema
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